LDPC码 - 非正规与正规LDPC码 在LDPC码的校验矩阵中,如果行列重量固定为(P,Y),即每个校验节点有P个变量节点参与校验,每个变量节点参与Y个校验节点,我们称之为正则LDPC码。Gallager最初提出的Gallager码就具有这种性质。从编码二分图的角度来看,这种LDPC码的变量节点度数全部为Y,而校验节点的度数都为P。我们还可以适当放宽上述正则LDPC码的条件,行列重量的均值可以不是一个整数,但行列重量尽量服从均匀分布。另外为了保证LDPC码的二分图上不存在长度为4的圈。我们通常要求行与行以及列与列之间的交叠部分重量不超过1,所谓交叠部分即任意两列或两行的相同部分。我们可以将正则LDPC码校验矩阵H的特征概括如下:

1. H的每行行重固定为P,每列列重固定为Y。

2. 任意两行(列)之间同为1的列(行)数(称为重叠数)不超过1,即H矩阵中不含四角为1 的小方阵,也即无4线循环。

3. 行重P和列重Y相对于H的行数M、列数N很小,H是个稀疏矩阵。 在正则LDPC码的校验矩阵中。行重和列重的均值保持不变,所以校验矩阵中1的个数随着码长的增加而线性增长,整个校验矩阵的元素个数则成平方增长。

当码长达到一定长度时,校验矩阵H是非常稀疏的低密度矩阵。对于正则的LDPC码,MacKay给出了以下两个结论:

1. 对于任意给定列重大于3的LDPC码,存在某个小于信道传输容量且大于零的速率r ,当码长足够长时,可以实现以小于r且不为零的速率无差错的传输。也就是说任意给定一个不为零的传输速率r,存在一个小于相应香农限的噪声门限,当信道噪声低于该门限且码长足够长的时候,可以实现以r速率无差错的传输。

2. 当LDPC码的校验矩阵H的列重Y不固定,而是根据信道特性和传输速率来确定时,则一定可以找到一个最佳码,实现在任意小于信道传输容量的速率下无差错的传输。 对于LDPCP 码的每个变量节点来说,当它参与的校验式越多,即度数Y越大,则它可以从更多的校验节点获取信息,也就可以更加准确的判断出它的正确值。对于H的每个校验节点来说,当它涉及的变量节点越少,即度数P越小,则它可以更准确的估计相关变量节点的状态。这种情况对于正则LDPc码来说是一对不可克服的矛盾,于是Luby,Mitzemnacher等人就引入了非正则LDPC码的概念。 因子图 因子图 在非正则LDPC码的编码二分图中,两个集合内部的节点度数不再保持相同,即每个变量节点参与的校验式数目或每个校验式中含有的变量节点数目不再保持均匀,而是有意设置部分突出的变量节点和校验节点。在译码过程中,那些参与较多校验式的变量节点迅速得到它们的正确译码信息,这样它们就可以给相邻的校验节点更加有效的概率信息,而这些校验节点又可以给与它们相邻的次数少的变量节点更多的信息。整个译码的过程呈现出一种波状效应,次数越高的变量节点首先获得正确信息,然后是次数较低的节点,然后依次往下,直到次数最低的变量节点。正是这种波状效应,使得非正则LDPC码获得比正则LDPC更好的译码性能。 LDPC码 - 二元域与多元域LDPC码 对DLPC码的定义都是在二元域基础上的,MaKcay对上述二元域的LDPC码又进行了推广。如果定义中的域不限于二元域就可以得到多元域GF(q)上的LDPC码。多元域上的LDPC码具有较二进制LDPC码更好的性能,而且实践表明在越大的域上构造的LDPC码,译码性能就越好,比如在GF(16)上构造的正则码性能己经和Turbo码相差无几。多元域LDPC码之所以拥有如此优异的性能,是因为它有比二元域LDPC码更重的列重,同时还有和二元域LDPC码相似的二分图结构。 假设在域GF(2)和域GF(q)(q=2p)上构造的LDCP码所对应的校验矩阵分别是H2和Hq。H2中的元素是0或1,而Hq是由元素0,1,…,q-1构成,Hq中的每个元素都是H2中p个元素的合成。如果设域GF(q)(q=2p)上的一个值a与一个1*p的二进制向量相关联,那么把这个向量代入Hq中,就可以得到Hq的二进制表示。对于二进制LDPc码来说,如果它的校验矩阵H的列重量足够大,那么它可以任意地接近香农限,但是如果增加列重量会使得二分图中节点之间短圈的数H急剧增加从而使BP算法的性能下降。而在GF(q)域上构造的LDPC可以解决这个矛盾,它的检验矩阵H。可以增加与之对应的二进制校验矩阵HZ中列的平均重量,且它的二分图结构并没有改变,不会造成节点之间短圈数目的增加,从而使得译码性能得到显著的提高。这种多元域上的编码构造会增加译码复杂度,但是相对于译码性能的提高来说这种增加是值得的。

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